Question

【题目】已知经过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆上不同于的一点，直线的斜率均存在，且直线的斜率之积为.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点，若点在以为直径的圆内部，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：

(1)设出点的坐标，利用点差法可得椭圆的离心率为；

(2)联立直线的点斜式方程与椭圆方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式 ，求解不等式可得.

试题解析：

（1）设则， ，∵点三点均在椭圆上，

∴， ，

∴作差得，

∴ ，

∴.

（2）∵， ，∴， ，

设， ，直线的方程为，记， ，

联立得， ，

∴， ，

当点在以为直径的圆内部时，

，

∴ ，

得 ，

解得.