【题目】如果函数在其定义域内存在实数
,使得
成立,则称函数
为“可拆分函数”.
(1)试判断函数是否为“可拆分函数”?并说明你的理由;
(2)证明:函数为“可拆分函数”;
(3)设函数为“可拆分函数”,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 不是“可分拆函数”(2)见解析(3)
【解析】试题分析: (1)按照“可分拆函数”的概念,只需方程有根即可,据此判断;
(2)本问利用零点定理即可判断,即判断端点处的函数值异号即可证明结论;
(3)若函数在(0,+∞)上为可分拆函数,只需方程在该区间上有实根,然后借助于换元的方法,将,然后分离参数方法,即可求出
的取值范围.
试题解析:
(1)假设是“可分拆函数”,则存在
,使得
即 ,而此方程的判别式
,方程无实数解,
所以,不是“可分拆函数”.
(2)令,
则,
又 故
,
所以在上有实数解
,也即存在实数
,使得
成立,
所以 是“可分拆函数”.
(3)因为函数为“可分拆函数”,
所以存在实数,使得
=
+
,
=
且
,所以
,
,则
,所以
,
由得
,即
的取值范围是
.
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【题目】国家射击队的某队员射击一次,命中7~10环的概率如表所示:
命中环数 | 10环 | 9环 | 8环 | 7环 |
概率 | 0.32 | 0.28 | 0.18 | 0.12 |
求该射击队员射击一次 求:
(1)射中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;(3)命中不足8环的概率。
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是( )
A.
B.k<0或
C.
D.或
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【题目】
如图,四棱锥P -ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,
且侧面PAD⊥底面ABCD,E 为侧棱PD的中点。
(1)求证:PB//平面EAC;
(2)求证:AE⊥平面PCD;
(3)当为何值时,PB⊥AC ?
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【题目】将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图, 弧AC 长为 ,弧A1B1 长为
,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.
(1)求圆柱的体积与侧面积;
(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.
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【题目】函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为
.
(Ⅰ)求函数的解析式和当
时
的单调减区间;
(Ⅱ)的图象向右平行移动
个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到
的图象,用“五点法”作出
在
内的大致图象.
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【题目】已知 R,函数
=
.
(1)当 时,解不等式
>1;
(2)若关于 的方程
+
=0的解集中恰有一个元素,求
的值;
(3)设 >0,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1,求
的取值范围.
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