Question

【题目】已知点是椭圆上一动点，点分别是左、右两个焦点.面积的最大值为，且椭圆的长轴长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点，在椭圆上，已知两点，，且以为直径的圆经过坐标原点.求证：的面积为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意建立方程求出，即可得到椭圆方程；

（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线MN斜率不存在时易求三角形面积，当直线MN斜率存在时，设联立椭圆，根据弦长公式及点到直线的距离求三角形面积即可.

（1）由题意知，当点在短轴端点时，面积的最大值为，

所以，解得或，

因为，所以，所以.

所以椭圆标准方程为；

（2）以为直径的圆经过坐标原点，则，

又，所以.

①当直线的斜率不存在时，由题意知，

又，所以，；

②当直线的斜率存在时，设其方程为，

联立，得.

则，

所以，

代入整理得：，

此时，

点到直线的距离，所以，

综上, 的面积为定值.