【题目】已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数,分别为椭圆的左、右顶点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过左顶点的直线与椭圆另交于点,与轴交于点,在平面内是否存在一定点,使得恒成立?若存在,求出该点的坐标,并求面积的最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2),.
【解析】
(1)根据题意,由双曲线的标准方程,求出和,利用,求得,根据离心率,即可求出双曲线的离心率,结合题意,得出椭圆的离心率,根据椭圆中,得出,进而求出,最后利用,求出,即可得出椭圆的标准方程;
(2)设直线的方程为:,,可求出与轴交于点,联立方程组,写出韦达定理,进而可求出,设点,求出和,通过,化简后通过直线过定点得出,由弦长公式求出,以及利用点到直线的距离公式求出点到直线:的距离,最后利用,化简后可得出面积的最大值.
解:(1)由题可知,双曲线,
则,,,
所以,
所以双曲线的离心率:,
由于椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数,
则椭圆的离心率为,
而分别为椭圆的左、右顶点,且,
则,得,所以,,
所以椭圆的标准方程为:.
(2)由(1)可知,,,
直线过点,与椭圆另交于点,与轴交于点,
则设直线的方程为:,,
令,得,则,
将代入得:,
则,而,则,
由于,
得,
设点,则,,
要使得,
则
即
即,则,
即,则过定点,
即在平面内存在一定点,使得恒成立,
由于,
设点到直线:的距离为,
则,
所以的面积为:
,
因为,当且仅当时,即时,取等号,
则,
所以的最大值为,即面积的最大值为.
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【题目】设函数的最小正周期为,且其图象关于直线对称,则在下面结论中正确的个数是( )
①图象关于点对称;
②图象关于点对称;
③在上是增函数;
④在上是增函数;
⑤由可得必是的整数倍.
A.4B.3C.2D.1
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【题目】对于两个定义域相同的函数、,若存在实数,,使则称函数是由“基函数”生成的.
(1)若和生成一个偶函数,求的值;
(2)若是由和生成,其中,.且求的取值范围;
(3)利用“基函数,”生成一个函数,使得满足:
①是偶函数,②有最小值,求的解析式.
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【题目】博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则( )
A. P1P2= B. P1=P2= C. P1+P2= D. P1<P2
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【题目】△ABC的内角A. B. C的对边分别为a,b,c,己知=b(c-asinC)。
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=,,求△ABC的面积。
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【题目】某校为了增强学生的记忆力和辨识力,组织了一场类似《最强大脑》的PK赛,两队各由4名选手组成,每局两队各派一名选手PK,比赛四局.除第三局胜者得2分外,其余各局胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图所示,为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD平面PBC=.
(1)求证:BC∥;
(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
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