精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3.

(1)证明:f(x)是奇函数;

(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式.

(1)f(x)是奇函数(2)f(x)=


解析:

(1)证明  ∵x=1是f(x)的图象的一条对称轴,

∴f(x+2)=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.

(2)解  ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]

=-f(x+2)=f(x),∴T=4.若x∈[3,5],则(x-4)∈[-1,1],

∴f(x-4)=(x-4.)3又∵f(x-4)=f(x),

∴f(x)=(x-4)3,x∈[3,5].若x∈(5,7],则(x-4)∈(1,3],f(x-4)=f(x).

由x=1是f(x)的图象的一条对称轴可知f[2-(x-4)]=f(x-4)

且2-(x-4)=(6-x)∈[-1,1],故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3.

综上可知f(x)=

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3
(1)证明:f(x)是奇函数;
(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年黑龙江省哈尔滨六中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3
(1)证明:f(x)是奇函数;
(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010届湖南省高三第二次月考理科数学卷 题型:解答题

(本小题满分13分)设直线x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴,对于任意,f(x+2)=-- f(x),当.

(1)证明:f(x)在R上是奇函数;

(2)当时,求f(x)的解析式。

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3
(1)证明:f(x)是奇函数;
(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

同步练习册答案