Question

设直线x=1是函数f（x）的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x³．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）当x∈[3，7]时，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证f（x）是奇函数，由定义知即证f（-x）=-f（x），由x=1是f（x）的图象的一条对称轴，可得f（x+2）=f（-x），再由主条件f（x+2）=-f（x），可找到f（-x）与f（x）关系．
（2）本题关键是将自变量从[3，7]转化到[-1，1]上解决，所以先由f（x+2）=-f（x）变形得到f（x+4）=f（x）可知周期T=4．再由x=1是f（x）的图象的一条对称轴两者结合起来可得解．
解答：（1）证明∵x=1是f（x）的图象的一条对称轴，
∴f（x+2）=f（-x）．又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-f（-x），即f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函数．
（2）解∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]
=-f（x+2）=f（x），∴T=4．若x∈[3，5]，则（x-4）∈[-1，1]，
∴f（x-4）=（x-4）³．又∵f（x-4）=f（x），
∴f（x）=（x-4）³，x∈[3，5]．若x∈（5，7]，
则（x-4）∈（1，3]，f（x-4）=f（x）．
由x=1是f（x）的图象的一条对称轴可知f[2-（x-4）]=f（x-4）
且2-（x-4）=（6-x）∈[-1，1]，
故f（x）=f（x-4）=f（6-x）=（6-x）³=-（x-6）³．
综上可知f（x）=
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，变形转化是关键，还考查了求区间上的解析式，要注意求哪个区间上的解析式，要在哪个区间上取变量，同时，求解析式一定要用其他区间上的解析式，所以通过函数性质转化区间是问题的关键．