Question

设直线x=1是函数f（x）的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x³．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）当x∈[3，7]时，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

（1）证明∵x=1是f（x）的图象的一条对称轴，
∴f（x+2）=f（-x）．又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-f（-x），即f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函数．
（2）解∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]
=-f（x+2）=f（x），∴T=4．若x∈[3，5]，则（x-4）∈[-1，1]，
∴f（x-4）=（x-4）³．又∵f（x-4）=f（x），
∴f（x）=（x-4）³，x∈[3，5]．若x∈（5，7]，
则（x-4）∈（1，3]，f（x-4）=f（x）．
由x=1是f（x）的图象的一条对称轴可知f[2-（x-4）]=f（x-4）
且2-（x-4）=（6-x）∈[-1，1]，
故f（x）=f（x-4）=f（6-x）=（6-x）³=-（x-6）³．
综上可知f（x）=

(x-4)3           3≤x≤5 -(x-6)3        5＜x≤7.