Question

（2010•上海模拟）已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式：a_n==

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…

bn

2n

（n为正整数），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）将已知条件a₃a₆=55，a₂+a₇=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{a_n}的通项公式
（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b_n}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解（1）解：设等差数列{a_n} 的公差为d，则依题设d＞0
由a2+a7=16．得2a₁+7d=16
①由a₃•a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55 ②
由①得2a₁=16-7d 将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d²=220∴d²=4，又d＞0，
∴d=2，代入①得a₁=1
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
所以a_n=2n-1
（2）令c_n=

bn

2n

，则有a_n=c₁+c₂+…+c_n，a_n+1=c₁+c₂+…+c_n-1
两式相减得a_n+1-a_n=c_n+1，
由（1）得a₁=1，a_n+1-a_n=2
∴c_n+1=2，c_n=2（n≥2），
即当n≥2时，b_n=2ⁿ⁺¹
又当n=1时，b₁=2a₁=2
∴b_n=

2，(n=1) 2n+1(n≥2)

＜BR＞
于是S_n=b₁+b₂+b₃…+b_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-4=

2(2n+1-1)

2-1

-4=2n+2-6，
即S_n=2ⁿ⁺²-6

点评：求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．