Question

【题目】无穷等差数列{an}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，Sn是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：
①对任意满足条件的d，存在a1 ， 使得99一定是数列{an}中的一项；
②存在满足条件的数列{an}，使得对任意的n∈N* ， S2n=4Sn成立；
③对任意满足条件的d，存在a1 ， 使得30一定是数列{an}中的一项．
其中正确命题的序号为（ ）
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

Answer 1

【答案】A
【解析】解：要使等差数列的公差最大，则3，15，21为相邻的前n项和，
此时对应两项为15﹣3=12，21﹣15=6，所以d≤6．
①99﹣21=78能被6整除，且 ，假设15和21之间有n项，
那么99和21之间有13n项，所以99一定是数列{an}中的一项，所以①正确．
②如果有S2n=4Sn ， 那么由等差数列求和公式有：2na1+n（2n﹣1）d=4[na1+ ]，
化简得到，d=2a1 ， 所以只要满足条件d=2a1的数列{an}，
就能使得对任意的n∈N* ， S2n=4Sn成立，所以②正确．
③30﹣21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{an}中的一项，所以③错误．
综上可得：只有①②正确．
故选：A．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等差数列的前n项和公式(前n项和公式：)．