Question

设数列{a_n}满足a1=2，an+1=

a

2 n

-nan+1，n∈N*．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n的一个通项公式，证明你的结论；
（Ⅱ）若b_n=a_n-1，不等式

1

n+b1

+

1

n+b2

+…+

1

n+bn

＞

m

24

对一切n∈N^*都成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意计算，得a₁=2，得a₂=3，a₃=4，a₄=5，…，由此猜想a_n=n+1．再用数学归纳法证明即可；
（Ⅱ）由b_n=a_n-1=n，可求得

1

n+b1

+

1

n+b2

+…+

1

n+bn

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，设f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，可求得f（n+1）=f（n）+

1

(2n+1)(2n+2)

＞f（n），从而可得f（n+1）＞f（n）＞…＞f（1）=

1

2

=

12

24

，继而可求得正整数m的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由a₁=2，得a₂=a12-a₁+1=3，
由a₂=3，得a₃=a22-2a₂+1=4，
由a₄=a32-3a₃+1=5，
由此猜想a_n=n+1．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a₁=1+1，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即a_k=k+1，
那么当n=k+1时，
a_k+1=ak2-ka_k+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1，
由（1）（2）知，对于任意的n∈N^*都有a_n=n+1成立．
（Ⅱ）∵b_n=a_n-1=n，
∴

1

n+b1

+

1

n+b2

+…+

1

n+bn

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，
设f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，
则f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

n+n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

，
=f（n）+

1

(2n+1)(2n+2)

＞f（n），
∴f（n+1）＞f（n）＞…＞f（1）=

1

2

=

12

24

，
∴m=11．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列递推式，考查猜想与证明，着重考查数学归纳法与放缩法的综合应用，属于难题．