Question

设，函数，．

（Ⅰ）当时，比较与的大小；

（Ⅱ）若存在实数，使函数的图象总在函数的图象的上方，求的取值集合．

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，，易证在上是增函数，而，所以；（Ⅱ）函数的图象总在函数的图象的上方等价于恒成立，即在上恒成立，① 当时，，则通过构造函数求得当时恒成立，所以；② 当时，，则，通过构造函数求得当时恒成立，所以，由①及②得：，故所求值的集合为．

试题解析：（Ⅰ）当时，，

当时，，所以在上是增函数

而，

（Ⅱ）函数的图象总在函数的图象的上方等价于恒成立，

即 在上恒成立．

① 当时，，则

令，，

再令，

当时，，∴在上递减，

∴ 当时，，

∴，所以在上递增，，

∴

② 当时，，则

由①知，当时，，在上递增

∴ 当时，，

∴ 在上递增， ∴

∴

由①及②得：，故所求值的集合为．

考点：1.导数与函数的单调性；2.转化与化归的思想；3.不等式恒成立问题