Question

如图，三棱锥P-ABC的底面ABC是以AC为斜边的直角三角形，且顶点P在底面的射影是△ABC外心，设PB=AB=1，BC=

2

．
（1）求证：面PAC⊥面ABC；
（2）求侧棱PB与底面ABC所成的角；
（3）求侧面PAB与底面ABC所成二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）过P作PD⊥平面ABC，交点为D，易得D为斜边AC的中点，进而由面面垂直的判定定理，可得面PAC⊥面ABC；
（2）连结DB，由（1）中结论，结合线面夹角的定义，可得∠PBD是PB与面ABC所成的角，解△PBD可得侧棱PB与底面ABC所成的角；
（3）过D点作OD⊥AB，垂足为O，连PO，由三垂线定理可知PO⊥AB，即∠POD是侧面PAB与面ABC所成二面角的平面角，解△POD可得侧面PAB与底面ABC所成二面角的正切值．

解答：证明：（1）过P作PD⊥平面ABC，交点为D，
则D为△ABC外心，
故D为斜边AC的中点．
∵PD?面PAC
∴面PAC⊥面ABC．
解：（2）连DB，∵PD⊥面ABC．
∴∠PBD是PB与面ABC所成的角．
∵AB=1，BC=

2

，
故AC=

3

，
又BO=OC=

1

2

AC=

3

2

，PB=1，
在△POB中，cos∠PBO=

3

2

，
则∠PBO=

π

6

，
即侧棱PB与底面ABC所成角为

π

6

．
（3）过D点作OD⊥AB，垂足为O，连PO，由三垂线定理可知PO⊥AB，
∴∠POD是侧面PAB与面ABC所成二面角的平面角，
∵OD=

2

2

，PD=PBsin30°=

1

2

，
∴tan∠POD=

PD

DO

=

2

2

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法，解答（1）的关键是判断出D为斜边AC的中点，解答（2）（3）的关键是构造出线面夹角及二面角的平面角．