Question

11．已知函数f（x）=ln（2x+a）-e^2x-1．
（1）若函数f（x）在x=$\frac{1}{2}$处取得极值，求f（x）的单调区间；
（2）当a≤1时，f（x）＜0，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），得到f′（$\frac{1}{2}$）=0，解出a，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）-e^2x-1，利用对任意x$＞-\frac{1}{2}$，ln（2x+1）-e^2x-1＜0，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2}{2x+a}$-2e^2x-1，由已知得 f′（$\frac{1}{2}$）=0，即：$\frac{1}{1+a}$-1=0，
所以a=0，…（1分）
所以f（x）=ln2x-e^2x-1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-2e^2x-1，…（2分）
由于f′（x） 在（0，+∞）上为减函数，而f′（$\frac{1}{2}$）=0，所以当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＞0；
当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{2}$），单调递减区间为（$\frac{1}{2}$，+∞）．（5分）
（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）-e^2x-1，…（6分）
令g（x）=ln（2x+1）-2x（x＞-$\frac{1}{2}$），则g′（x）=$\frac{-4x}{2x+1}$，
所以，当-$\frac{1}{2}$＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，
所以g（x）≤g（0）=0，即：ln（2x+1）≤2x           …（8分）
令h（x）=e^2x-1-2x，则h′（x）=2（ e^2x-1-1），
所以，当x$＞\frac{1}{2}$时，h′（x）＞0，当-$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$时，h′（x）＜0，
所以h（x）≥h（$\frac{1}{2}$），即：e^2x-1≥2x．…（10分）
所以，对任意x$＞-\frac{1}{2}$，ln（2x+1）-e^2x-1＜0，
因此，当a≤1时，对任意x＞-$\frac{a}{2}$，ln（2x+1）-e^2x-1＜0，所以x的取值范围为（-$\frac{a}{2}$，+∞）       …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数知识的综合运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．