Question

6．已知二次函数f（x）=-x²+ax+b（a，b∈R），设M（a，b）是函数g（x）=|f（x）|在[1，2]上的最大值．
（1）当a=1时，求M（1，b）关于b的解析式；
（2）若对任意的a，b∈R，恒有M（a，b）≥M（a₀，b₀），求满足条件的所有实数对（a₀，b₀）．

Answer 1

分析 （1）当a=1 时，f（x）=-x²+x+b，则f（x） 在[1，2]上单调递减，即可求M（1，b）关于b的解析式；
（2）函数y=f（x）的对称轴为$x=\frac{a}{2}$，下面讨论$\frac{a}{2}，1，2$的大小关系来确定f（x）的单调性．利用对任意的a，b∈R，恒有M（a，b）≥M（a₀，b₀），求满足条件的所有实数对（a₀，b₀）．

解答 解：（1）当a=1 时，f（x）=-x²+x+b，则f（x） 在[1，2]上单调递减，
故f（x） 在[1，2]上的值域为[b-2，b]，
从而$M（a，b）=max\{|b-2|，|b|\}=\left\{\begin{array}{l}|b-2|，b≤1\\|b|，b＞1\end{array}\right.$；
（2）函数y=f（x）的对称轴为$x=\frac{a}{2}$，
下面讨论$\frac{a}{2}，1，2$的大小关系来确定f（x）的单调性．
①当a≤2或a≥4时，f（x）在[1，2]上单调，
又f（1）=a+b-1，f（2）=2a+b-4，M（a，b）=max{|a+b-1|，|2a+b-4|}
≥$\frac{1}{2}$（|a+b-1|+|2a+b-4|）≥$\frac{1}{2}$|a-3|≥$\frac{1}{2}$，
不等号1，2，3取到等号的条件分别为$\left\{\begin{array}{l}|2a+b-4|=|a+b-1|\\（2a+b-4）（a+b-1）＜0\\ a=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}|2a+b-4|=|a+b-1|\\（2a+b-4）（a+b-1）＜0\\ a=4\end{array}\right.$，
从而$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-\frac{7}{2}\end{array}\right.$；
②当2＜a＜4时，f（x）在$[1，\frac{a}{2}]$上单调递增，在$[\frac{a}{2}，2]$上单调递减，
又f（1）=a+b-1，f（2）=2a+b-4，$f（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}+b$
ⅰ）当2＜a≤3时，M（a，b）=max{|$\frac{{a}^{2}}{4}$+b|，|2a+b-4|}≥$\frac{1}{2}$（|$\frac{{a}^{2}}{4}$+b|+|2a+b-4|）≥$\frac{1}{2}$|$\frac{{a}^{2}}{4}$-2a+4|≥$\frac{1}{8}$
不等号1，2，3取到等号的条件分别为$\left\{\begin{array}{l}|\frac{a^2}{4}+b|=|2a+b-4|\\（\frac{a^2}{4}+b）（2a+b-4）＜0\\ a=3\end{array}\right.$，故$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-\frac{17}{8}\end{array}\right.$．
ⅱ）当3＜a≤4时，M（a，b）=max{|$\frac{{a}^{2}}{4}$+b|，|a+b--|}≥$\frac{1}{2}$（|$\frac{{a}^{2}}{4}$+b|+|a+b-1|）≥$\frac{1}{2}$|$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1|≥$\frac{1}{8}$
不等号1，2，3取到等号的条件分别为$\left\{\begin{array}{l}|\frac{a^2}{4}+b|=|a+b-1|\\（\frac{a^2}{4}+b）（a+b-1）＜0\\ a=3\end{array}\right.$，
故$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-\frac{17}{8}\end{array}\right.$，这与3＜a≤4矛盾．

综上所述，当且仅当a₀=3，${b_0}=-\frac{17}{8}$时，对任意的a，b∈R，恒有$M（a，b）≥M（{a_0}，{b_0}）=\frac{1}{8}$，故满足条件的所有实数对（a₀，b₀）为$（3，-\frac{17}{8}）$．

点评 本题考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，难度大．