Question

18．已知数列{a_n}满足a_n+1+2=$\frac{3{a}_{n}+4}{2{a}_{n}+3}$，且a₁=1，设b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{2}_{\;}}$，则数列{b_n•b_n+1}的前50项和为$\frac{50}{201}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n+1+2=$\frac{3{a}_{n}+4}{2{a}_{n}+3}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+1}$，化为：$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=2，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n+1+2=$\frac{3{a}_{n}+4}{2{a}_{n}+3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+1}$，化为：$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，2为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=2n-$\frac{3}{2}$，∴b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=$\frac{1}{4n-3}$，
则b_n•b_n+1=$\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$=$\frac{1}{4}（{\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}}）$，
∴${b_1}•{b_2}+…+{b_{50}}•{b_{51}}=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{201}}）=\frac{50}{201}$．
故答案为：$\frac{50}{201}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．