Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{{2}^{x}+\frac{a}{{2}^{x}}-2}$．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数以及二次根式的性质求出a的范围即可；
（2）根据函数的值域的范围，得到关于a的方程，求出a的范围即可．

解答 解：（1）若f（x）的定义域为R，
由2^x＞0，则$\frac{a}{{2}^{x}}$＞0，则a＞0，
则f（x）=$\sqrt{{2}^{x}+\frac{a}{{2}^{x}}-2}$≥$\sqrt{2\sqrt{a}-2}$≥0，
解得：a≥1，
故a的范围是[1，+∞）；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），
则f（x）=$\sqrt{{2}^{x}+\frac{a}{{2}^{x}}-2}$≥$\sqrt{2\sqrt{a}-2}$≥0，
由2$\sqrt{a}$-2=0，解得：a=1．

点评 本题考查了函数的定义域、值域问题，考查指数函数的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．