Question

19．已知函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+m{x^2}+n（m，n，x∈R）$图象上任意两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＞x₂），满足$f（{x_1}）-f（{x_2}）＜{x_1}-{x_2}+{x_1}^2-{x_2}^2$，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [0，2]
• B． （-∞，0）
• C． （0，2）
• D． [2，+∞]

Answer 1

分析 由题意得$\frac{1}{3}$x₂³-mx₂²+x₂+x₂²＜$\frac{1}{3}$x₁³-mx₁²+x₁+x₁²，从而转化为证明g（x）=$\frac{1}{3}$x³-（m-1）x²+x在R上是增函数，求导解出即可．

解答 解：由题意得，
f（x₁）=-$\frac{1}{3}$x₁³+mx₁²+n，f（x₂）=-$\frac{1}{3}$x₂³+mx₂²+n，
则（-$\frac{1}{3}$x₁³+mx₁²+n）-（-$\frac{1}{3}$x₂³+mx₂²+n）＜x₁-x₂+x₁²-x₂²，
则$\frac{1}{3}$x₂³-mx₂²+x₂+x₂²＜$\frac{1}{3}$x₁³-mx₁²+x₁+x₁²，
即$\frac{1}{3}$x₂³-（m-1）x₂²+x₂＜$\frac{1}{3}$x₁³-（m-1）x₁²+x₁，
故g（x）=$\frac{1}{3}$x³-（m-1）x²+x在R上是增函数，
g′（x）=x²-2（m-1）x+1，
故△=4（m-1）²-4×1×1≤0，
解得0≤m≤2．
故选A．

点评 本题考查了函数的单调性的应用及导数的综合应用．