Question

9．若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与射线3x+4y=0（x≤0）重合，则$cos（{2α+\frac{π}{6}}）$=$\frac{7\sqrt{3}+24}{50}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的定义取点（-4，3），进行求解即可．

解答 解：∵角α终边与射线3x+4y=0（x≤0）重合，
∴取点P（-4，3），
则r=|OP|=$\sqrt{（-4）^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴cosα=-$\frac{4}{5}$，sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cos2α=2cos²α-1=$\frac{7}{25}$，sin2α=2sinαcosα=2×（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{5}$=-$\frac{24}{25}$，
∴$cos（{2α+\frac{π}{6}}）$=cos2αcos$\frac{π}{6}$-sin2αsin$\frac{π}{6}$=$\frac{7}{25}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{24}{25}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}+24}{50}$，
故答案为：$\frac{7\sqrt{3}+24}{50}$

点评 本题主要考查三角函数求值，利用三角函数的定义是解决本题的关键．