Question

18．我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N^*，y∈N^*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．
（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）=sinmx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标．
（2）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2）与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．
（3）对于（2）中的m值，函数f（x）=sinmx，$x∈（{0\;，\;\;\frac{5}{9}}）$时，不等式log_ax＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）取m=$\frac{π}{2}$，可求相应正格点坐标；
（2）作出两个函数图象，利用图象可知正格点交点只有一个点为（10，1），从而有2kπ+$\frac{π}{2}$=10m，m=$\frac{4k+1}{20}$π，k∈Z，m∈（1，2），求得m=$\frac{9π}{20}$，得交点的个数；
（3）利用（2）的图象，分a＞1、0＜a＜1进行讨论

解答 解：（1）取m=$\frac{π}{2}$时，
正格点坐标（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）；…（2分）
（2）作出两个函数图象，可知函数f（x）=sinmx，x∈R，
与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点只有一个点为（10，1）；（4分）
∴2kπ+$\frac{π}{2}$=10m，解得m=$\frac{4k+1}{20}$π，其中k∈Z，m∈（1，2），
取m=$\frac{9π}{20}$；…（6分）
根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个．
（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起）…（7分）
（3）由（2）知f（x）=sin$\frac{9π}{20}$x，x∈（0，$\frac{5}{9}$）；
∴①当a＞1时，不等式log_ax＞sinmx不能成立；…（8分）
②当0＜a＜1时，由图（2）可知log_a$\frac{5}{9}$＞sin$\frac{π}{4}$，
∴${（\frac{5}{9}）}^{\sqrt{2}}$＜a＜1．…（10分）

点评 本题考查了新定义和三角函数与对数函数的应用问题，正确理解新定义是解题的关键．