Question

6．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设f（x）∈M，且T=2，已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式；
（3）若函数f（x）=sinkx，f（x）∈M，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证，即可知函数f（x）=x不属于集合M；
（2）将-3＜x＜-2转化为1＜x+4＜2，利用当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[-1，1]对任意实数都成立，故T=±1．将T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x，
∴对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∵集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：
存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
而对任意x∈R，x+T=Tx，不能恒成立，
∴不满足上述性质，
∴f（x）=x∉M；
（2）∵-3＜x＜-2，
∴1＜x+4＜2，
∴f（x+4）=x+4+ln（x+4），
∵存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
∴令T=2，
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=2f（x+2）=4f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{4}$[x+4+ln（x+4）]，
∴当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式是f（x）=$\frac{1}{4}$[x+4+ln（x+4）]．
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，
对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx．
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，
只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，
则k=2mπ，m∈Z．
当T=-1时，sin（kx-k）=-sinkx成立，
即sin（kx-k+π）=sinkx成立，
则-k+π=2mπ，m∈Z，即k=-（2m-1）π，m∈Z．
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．

点评 本题考查了抽象函数及其应用，函数解析式的求解及常用方法，考查新定义下问题的证明与求解，此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据，不能引入熟悉的算法，这是做此类题时要注意的．