Question

16．已知函数f（x）对任意x，y∈R有f（x）+f（y）=2+f（x+y），且当x＞0时，f（x）＞2．
（1）判断函数f（x）的单调性，并给与证明；
（2）若f（3）=5，解不等式f（a²-2a-2）＜3．

Answer 1

分析 （1）利用特殊值方法求出f（0）=2，和换元思想，得出f（-a）=4-f（a），利用定义法判定函数的单调性；
（2）根据定义得出f（1）=3，根据函数的单调性求解即可．

解答 解：（Ⅰ）对任意x，y∈R有f（x）+f（y）=2+f（x+y），
令x=y=0，
∴f（0）+f（0）=2+f（0），
∴f（0）=2，
令x=a，y=-a，
∴f（a）+f（-a）=4，
∴f（-a）=4-f（a），
令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-2
=f（x₂）+4-f（x₁）-2＞2，
∴f（x₂）＞f（x₁），
故函数在R上单调递增；
（2）f（1）+f（1）=2+f（2），f（1）+f（2）=2+f（3），
∴f（1）=3，
∵f（a²-2a-2）＜3，
∴f（a²-2a-2）＜f（1），
∴a²-2a-2＜1，
∴-1＜a＜3．

点评 考查了抽象函数单调性的证明和利用单调性解题．属于常规题型，应熟练掌握．