Question

2．已知函数f（x）=x²-（2-a）x-（2-a）lnx．．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．
（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-（2-a）x-（2-a）lnx，x＞0
∴$f'（x）=2x-（2-a）-\frac{2-a}{x}=\frac{{2{x^2}-（2-a）x-（2-a）}}{x}$，
因为a=1，令$f'（x）=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}$=0得x=1或x=$-\frac{1}{2}$（舍去）…（3分）
又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0
所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0…（6分）
（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，则2x²-（2-a）x-（2-a）＞0恒成立，
∴$a＞\frac{{-2{x^2}+2x+2}}{x+1}=6-2[{（x+1）+\frac{1}{x+1}}]$恒成立…（9分）
而当x＞0时∵$[{（x+1）+\frac{1}{x+1}}]＞2$．
检验知，a=2时也成立∴a≥2…（12分）
[或：令$g（x）=\frac{{-2{x^2}+2x+2}}{x+1}$，∴$g'（x）=\frac{-2x（x+2）}{{{{（x+1）}^2}}}$，∵x＞0，∴g'（x）＜0-----（9分）
所以，函数g（x）在定义域上为减函数
所以g（x）＜g（0）=2
检验知，a=2时也成立∴a≥2…（12分）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性与函数的最值的应用，考查转化思想以及计算能力．