Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，
（1）求由$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤\frac{5π}{12}\\ 0≤y≤f（x）\end{array}$，确定的区域的面积；
（2）如何由函数y=sinx的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象可求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式，再根据定积分的计算方法即可求出面积
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（1）由图象知A=1．f（x）的最小正周期$T=4×（\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}）=π$，
故$ω=\frac{2π}{T}=2$，
将点$（\frac{π}{6}，1）$代入f（x）的解析式得$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，又$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$．
故函数f（x）的解析式为$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
确定的区域的面积S=${∫}_{0}^{\frac{5π}{12}}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）dx=-$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）|${\;}_{0}^{\frac{5π}{12}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
（2）变换过程如下：y=sinx图象上的$\frac{所有点的横坐标缩小为原来的\frac{1}{2}倍}{纵坐标不变}$y=sin2x的图象，
再把y=sin2x的图象$\stackrel{向左平移\frac{π}{12}个单位}{→}$$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象，
另解：y=sinx$\stackrel{图象向左平移\frac{π}{6}个单位}{→}$$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的图象．
再把$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的图象$\frac{所有点的横坐标缩小为原来的\frac{1}{2}倍}{纵坐标不变}$$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．