Question

9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

x	3	4	5	6	7
y	2.5	3	4	4.5	6

（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
附：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由题意，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，$\widehat{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出回归直线方程；
（2）计算x=100时$\stackrel{∧}{y}$的值，预测生产100吨甲产品的生产能耗，再计算比技改前节约的标准煤．

解答 解：（1）由题意得：$\overline{x}$=5，$\overline{y}$=4；…（2分）
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5+7×6=108.5
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²+7²=135；…（4分）
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{108.5-5×5×4}{135-5{×5}^{2}}$=0.85，…（6分）
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=4-0.85×5=-0.25，
∴所求回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.85x-0.25…（8分）
（2）由（1）知，x=100时，
$\stackrel{∧}{y}$=0.85×100-0.25=84.75吨，…（10分）
预测生产100吨甲产品的生产能耗为84.75吨，
比技改前节约了90-84.75=5.25吨标准煤．…（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．