Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k₁，k₂，则当$\frac{2}{{{k_1}{k_2}}}+ln{k_1}+ln{k_2}$最小时，双曲线的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设C（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），显然x≠x₁，x≠x₂．利用平方差法推出斜率乘积，通过函数的导数求出函数的最小值，然后求解即可．

解答 解：设C（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），显然x≠x₁，x≠x₂．
∵点A，C在双曲线上，∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1}\\{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}}\right.$，两式相减得$\frac{{{y^2}-y_1^2}}{{{x^2}-x_1^2}}=\frac{b^2}{a^2}$，
∴${k_1}{k_2}={k_{AC}}{k_{BC}}=\frac{{y-{y_1}}}{{x-{x_1}}}•\frac{{y+{y_1}}}{{x+{x_1}}}=\frac{{{y^2}-y_2^2}}{{{x^2}-x_1^2}}=\frac{b^2}{a^2}$．
由$y=\frac{2}{{{k_1}{k_2}}}+ln{k_1}+ln{k_2}=\frac{2}{{{k_1}{k_2}}}+ln（{{k_1}{k_2}}）$，
设t=k₁k₂，则$y=\frac{2}{t}+lnt$，∴求导得$y'=-\frac{2}{t^2}+\frac{1}{t}$，由$y'=\frac{t-2}{t^2}=0$得t=2．
∴$y=\frac{2}{t}+lnt$在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，
∴t=2时即k₁k₂=2时$y=\frac{2}{t}+lnt$取最小值，
∴$\frac{b^2}{a^2}=2$，∴$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的导数的应用，综合分析问题解决问题的能力以及 转化与化归的数学思想．