Question

8．函数$y={log_{\frac{1}{3}}}（{sinx-cosx}）$的单调递增区间是（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$），k∈Z．

Answer 1

分析 令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）＞0，求得函数的定义域．根据函数即 y=${log}_{\frac{1}{3}}t$，故本题即求函数t的减区间．再根据正弦函数的单调性求得函数t的减区间．

解答 解：令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）＞0，可得2kπ＜x-$\frac{π}{4}$＜2kπ+π，k∈Z，
求得2kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$，故函数的定义域为{x|2kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$}．
再根据函数即 y=${log}_{\frac{1}{3}}t$，故本题即求函数t的减区间．
令2kπ+$\frac{π}{2}$＜x-$\frac{π}{4}$＜2kπ+π，求得2kπ+$\frac{3π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$，
故函数t的减区间为（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$ ），
故答案为：（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$ ），k∈Z．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、正弦函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．