Question

16．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积$S=5\sqrt{3}$，b=5，求sinBsinC的值；
（3）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （1）、根据题意，由cos2A-3cos（B+C）=1利用倍角公式和诱导公式变形可得2cos²A+3cosA-2=0，解可得cosA的值，结合A的范围，即可得答案；
（2）、由三角形面积公式可得bc=20，结合题意进而可得b、c的值，又由余弦定理可得a的值，由正弦定理得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=2$\sqrt{7}$，计算可得sinB、sinC的值，相乘即可得答案；
（3）、根据题意，由余弦定理可得1=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，将其变形可得b²+c²=bc+1，由基本不等式可得（b+c）²=1+3bc≤1+3（$\frac{b+c}{2}$）²，解可得b+c的最大值，结合三角形三遍关系可得b+c的取值范围，又由l=a+b+c=1+b+c计算可得答案．

解答 解：（1）由cos2A-3cos（B+C）=1，得2cos²A+3cosA-2=0，
即（2cosA-1）（cosA+2）=0，解得cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去）．
因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$；
（2）根据题意，S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=5$\sqrt{3}$，即bc=20，
又由b=5，则c=4；
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=25+16-20=21，故a=$\sqrt{21}$，
又由正弦定理得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=2$\sqrt{7}$，
sinB=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$，sinC=$\frac{4}{2\sqrt{7}}$，
sinBsinC=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$×$\frac{4}{2\sqrt{7}}$=$\frac{5}{7}$；
（3）根据题意，周长l=a+b+c=1+b+c，
由（1）A=$\frac{π}{3}$，则有1=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
即b²+c²=bc+1，
∴（b+c）²=1+3bc≤1+3（$\frac{b+c}{2}$）²，
解可得b+c≤2，
又由b+c＞a=1，即1＜b+c≤2，
故有2＜l≤3，
△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、均值不等式等基础知识，（3）不要忽略三角形的三边关系．