Question

5．已知函数f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x
（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间
（2）当$x∈[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先根据三角函数的二倍角公式化简为f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），从而求出函数的最小正周期；判定奇偶性、结合正弦函数的单调性解不等式，从而求出函数的单调区间即可．
（2）先根据x的范围确定2x+$\frac{π}{4}$的范围，再由正弦函数的性质可求出最值．

解答 解：（1）f（x）=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x+sin2x=）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；∵f（-x）≠f（x）≠-f（x），f（x）是非奇非偶函数；
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ$\frac{π}{2}$，k∈Z得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x$≤kπ+\frac{π}{8}$，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{3π}{8}$+kπ，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）；
（2）当$x∈[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$时，2x+$\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，
结合正弦函数图象可得，sin（2x+$\frac{π}{4}$）$∈[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，
∴函数f（x）的最大值和最小值分别为$\sqrt{2}$，-1．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，函数的周期性、奇偶性，考查函数的单调性问题，属于中档题．