Question

14．已知函数$f（x）={log_a}\frac{x-2}{x+2}$的定义域为[m，n]，值域为[log_aa（n-1），log_aa（m-1）]，且f（x）在[m，n]上为减函数．（常数a＞0，且a≠1）
（1）求证m＞2
（2）求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x）在[m，n]上为减函数，根据函数的单调性以及对数式中底数及真数的限制条件，可得m＞2，
（2）关于x的方程log_a $\frac{x-2}{x+2}$=log_aa（x-1）在（2，+∞）内有二不等实根m、n，令Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），我们易得Φ（2）•Φ（4）＜0，进而根据零点存在定理，得到答案即可．

解答 解：（1）按题意，得log_a $\frac{m-2}{m+2}$=f（x）_max=log_aa（m-1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-2}{m+2}＞0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$，即　m＞2．                                      
（2）由题意，log_a $\frac{n-2}{n+2}$=f_min（x）=log_aa（n-1）
∴关于x的方程log_a $\frac{x-2}{x+2}$=log_aa（x-1），
在（2，+∞）内有二不等实根x=m、n，
?关于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根m、n，
?$\left\{\begin{array}{l}{a＞0且a≠1}\\{△{=（a-1）}^{2}+8a（a-1）＞0}\\{-\frac{a-1}{2a}＞2}\\{4a+2（a-1）+2（1-a）＞0}\end{array}\right.$?0＜a＜$\frac{1}{9}$．　　
故0＜a＜$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数的运算，利用导数求闭区间上函数的最值，其中（1）的关键是根据函数的单调性求出f（x）的最大值求出m的范围；（2）的关键是根据函数的单调性将问题转化为关于x的方程log_a$\frac{x-2}{x+2}$=log_aa（x-1）在（2，+∞）内有二不等实根m、n，并由此构造关于a的不等式组．