Question

6．已知函数$f（x）={log_a}（{x^2}-1）（a＞0\;，\;\;且a≠1）$
（1）求函数的定义域；
（2）判断并证明y=f（x）的奇偶性；
（3）令$g（x）=f（\sqrt{x}）$，求满足不等式g（2a）＞g（a+3）的a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域即可；
（2）根据函数奇偶性的定义证明即可；
（3）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，结合对数函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）由x²-1＞0，解得：x＞1或x＜-1，
故函数f（x）的定义域是（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）由（1）f（x）的定义域关于（0，0）对称，
且f（-x）=log_a（x²-1）=f（x），
故f（x）是偶函数；
（3）g（x）=log_a（x-1），显然x＞1，
若g（2a）＞g（a+3），
则$\left\{\begin{array}{l}{2a＞1}\\{a+3＞1}\\{2a＞a+3}\\{a＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2a＞1}\\{a+3＞1}\\{2a＜a+3}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，
解得：a＞3或$\frac{1}{2}$＜a＜1，
故a的范围是（$\frac{1}{2}$，1）∪（3，+∞）．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道中档题．