Question

18．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cos（α-β）=-$\frac{5}{13}$，sinα=$\frac{4}{5}$，则sinβ的值为-$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 根据所给的角的范围和角的函数值，利用同角的三角函数之间的关系，写出角的函数值，进行角的变换，用α-（α-β）代替α，用两角差的正弦公式求出结果．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，
∴0＜α-β＜π，
∵cos（α-β）=-$\frac{5}{13}$，sinα=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-β）=$\frac{12}{13}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=$\frac{4}{5}$×（-$\frac{5}{13}$）-$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$=-$\frac{56}{65}$，
故答案为：$-\frac{56}{65}$

点评 本题考查两角差的正弦公式，在解题过程中关键是根据所给的角的范围求出要用的函数值，本题是一个角的变换问题．