Question

7．已知圆心为F₁的圆的方程为（x+2）²+y²=32，F₂（2，0），C是圆F₁上的动点，F₂C的垂直平分线交F₁C于D．
（I） 求动点D的轨迹方程；
（Ⅱ）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交D的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁+k₂为定值．

Answer 1

分析 （I）由椭圆的定义，得点D的轨迹是以F₁、F₂为焦点，以4$\sqrt{2}$为长轴长的椭圆，即可求得轨迹方程；
（Ⅱ）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时，直接求出A，B的坐标，则k₁、k₂可求，求出k_l+k₂=4，当斜率存在时，设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点横坐标的和与积，写出斜率的和后代入A，B两点的横坐标的和与积，整理后得到k_l+k₂=4．从而证得答案．

解答 （I）解：∵F₂C的垂直平分线交F₁C于D，
∴|DF₁|=|DC|．
∵|F₁C|=4$\sqrt{2}$，
∴|DF₁|+|DC|=4$\sqrt{2}$，
∴|DF₁|+|DF₂|=4$\sqrt{2}$，
∴点D的轨迹是以F₁、F₂为焦点，以4$\sqrt{2}$为长轴长的椭圆．
由c=2，a=2$\sqrt{2}$，得b²=a²-c²=8-4=4．
故曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），
与椭圆方程联立，可得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{4k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-8k}{1+2{k}^{2}}$．
从而k_l+k₂═2k-（k-4）•$\frac{4k（k-2）}{2{k}^{2}-8k}$=4．
当直线l的斜率不存在时，得A（-1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
得k_l+k₂═4．
综上，恒有k_l+k₂=4，为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，此类问题常用直线方程和圆锥曲线方程联立，利用一元二次方程的根与系数关系求解，考查了学生的计算能力，属难题．