Question

2．已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在（1，b）处的切线过点（2，1），求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-2x²+（a+4）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数，令f'（1）=-1，得到切线方程，利用f（x）在（1，b）处的切线过点（2，1），即可解得b的值；
（2）由g（x）≥-2x²+（a+4）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值．

解答 解：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f'（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f'（1）=-1，则切线方程为y-b=-（x-1），即x+y-1-b=0．
又∵切线过点（2，1），∴2+1-1-b=0，
∴b=2．
（2）由g（x）≥-2x²+（a+4）x，得（x-lnx）a≤2x²-4x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤$\frac{2{x}^{2}-4x}{x-lnx}$恒成立，
即a≤（ $\frac{2{x}^{2}-4x}{x-lnx}$）_min．     
令t（x）=$\frac{2{x}^{2}-4x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，
求导得，t′（x）=$\frac{2（x-1）（x+2-lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，t_min（x）=t（1）=-2，
∴a≤-2．

点评 该题考查利用导数研究切线方程、函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．