Question

12．在△ABC中，a=2，b=3，$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则△ABC的面积是$\frac{3\sqrt{2}±\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值，利用余弦定理可得：c²-2$\sqrt{6}$c+5=0，解得c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵a=2＜b=3，$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴A为锐角，cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴由余弦定理可得：2²=3²+c²-2×3×c×$\frac{\sqrt{6}}{3}$，整理可得：c²-2$\sqrt{6}$c+5=0，
∴解得：c=$\sqrt{6}$±1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{2}±\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}±\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．