Question

12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0（用直线方程的一般式表示）

Answer 1

分析 由于AC=BC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程．

解答 解：线段AB的中点为M（1，2），k_AB=-2，
∴线段AB的垂直平分线为：y-2=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+3=0．
∵AC=BC，
∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，
因此△ABC的欧拉线的方程为：x-2y+3=0．
故答案为：x-2y+3=0．

点评 本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．