Question

1．已知a＞0，b＞0，a+b=1．
（Ⅰ）求$y=（a+\frac{1}{a}）（b+\frac{1}{b}）$的最小值．
（Ⅱ）求证：${（a+\frac{1}{a}）^2}+{（b+\frac{1}{b}）^2}≥\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先判断出ab的范围，再化简y，设t=ab，构造函数，判断出函数的单调性，即可求出答案，
（Ⅱ）先由基本不等式，再由（Ⅰ）的结论即可证明

解答 证明：（Ⅰ）∵$a＞0，b＞0\;\;\;\;∴a+b≥2\sqrt{ab}$．
∵$a+b=1\;\;\;\;∴0＜ab≤\frac{1}{4}$，
∵$y=（a+\frac{1}{a}）（b+\frac{1}{b}）=ab+\frac{1}{ab}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=ab+\frac{1}{ab}+\frac{{{a^2}+{b^2}}}{ab}$=$ab+\frac{1}{ab}+\frac{{{{（a+b）}^2}-2ab}}{ab}=\frac{2}{ab}+ab-2$，
令$t=ab∈（0，\frac{1}{4}]，y=t+\frac{2}{t}-2$，∵${t}_{1}，{t}_{2}∈（0，\frac{1}{4}]\\;\\;\\;{t}_{1}＜{t}_{2}$，；{t₁＜t₂t₁＜t₂，
${y_1}-{y_2}={t_1}-{t_2}+\frac{2}{t_1}-\frac{2}{t_2}=（{t_1}-{t_2}）•\frac{{（{t_1}{t_2}-2）}}{{{t_1}{t_2}}}$，
∵t₁-t₂＜0，t₁t₂-2＜0，∴y₁-y₂＞0，
∴y在$（0，\frac{1}{4}]$上是减函数，
∴${y_{min}}=6+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$；
（Ⅱ）∵${（a+\frac{1}{a}）^2}+{（b+\frac{1}{b}）^2}≥2（a+\frac{1}{a}）（b+\frac{1}{b}）$
由（Ⅰ） $2（a+\frac{1}{a}）（b+\frac{1}{b}）≥\frac{25}{2}\;\;\;∴{（a+\frac{1}{a}）^2}+{（b+\frac{1}{b}）^2}≥\frac{25}{2}$

点评 本题考查了函数的最值和求法和基本不等式的应用，属于中档题