Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+4n（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n+1
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）由S_n=n²+4n，
当n=1时，a₁=S₁=1²+4=5；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3．
∴当n∈N^*时，a_n=2n+3． （3分）
又b_n+1=2b_n+1，b₁=1，即b_n+1+1=2（b_n+1），可得，
∴数列{b_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴b_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，b_n=2ⁿ-1． （6分）
（2）由（1）得c_n==n•2^n-1．
T_n=1×2⁰+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，…①．
2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，…②．
由①-②得-T_n=1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1-n•2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1． （12分）
分析：（1）由S_n=n²+4n，求出a₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，求出a_n．利用b_n+1=2b_n+1，b₁=1，判断数列{b_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后求解b_n．
（2）利用c_n=，求出c_n，利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查数列求和，数列的判定，递推关系式的应用，考查计算能力，转化思想．