Question

设f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f(x)的极值．

Answer 1

（1）a＝3.  b＝－12.（2）函数f(x)在x₁＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x₂＝1处取得极小值f(1)＝－6.

解析试题分析：（1）先求出的导函数f′(x)=，由函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称及二次函数的性质求出，再由f′(1)＝0求出；（2）将（1）中的值代入导函数中，利用导函数研究函数的单调性，根据单调性及极值的有关知识求出的极值.
试题解析：（1）由题知f′(x)= ，
由函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称得，，解得a＝3，
由f′(1)＝0即解得b＝－12. 所以a＝3.  b＝－12.      6分
（2）由（1）知a＝3， b＝－12，所以f′(x)= =，
当＜-2或＞1时，＞0，当-2＜＜1时，＜0，所以单调增区间为（-，-2），（1，+），单调减区间为（-2,1），所以函数f(x)在x₁＝－2处取得极大值f(－2)＝21，
在x₂＝1处取得极小值f(1)＝－6.       12分
考点:常见函数的导数，导数的运算法则，二次函数的对称性，函数的极值