Question

已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围。

Answer 1

（1）当时，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b；当时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b;当时，g(x)在[0，1]上的最小值是e－2a－b.（2）(e－2，1).

解析试题分析：（1）先求出的导函数即为的解析式，再求出的导函数，研究的值在[0,1]上的正负变化情况，得出的单调性，根据单调性求出在[0,1]上的最小值，因导数函数参数，故需要分类讨论；（2）设函数在区间内有零点，利用=0，判定出在[0,1]间的单调性，从而得出在[0,1]间的正负变化情况，得出在[0,1]上零点的个数，结合（1）的结论，得出在零点所在区间的端点的正负，列出关于的不等式，求出的范围.
试题解析：（1）由，有
所以
因此，当x∈[0，1]时，
当时，，所以g(x)在[0，1]上单调递增
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b
当时，，所以g(x)在[0，1]上单调递减
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b
当时，令g'(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增
于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b
综上所述，当时，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b；
当时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b;
当时，g(x)在[0，1]上的最小值是e－2a－b.
（2）设x₀为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x₀)＝0可知
f(x)在区间(0，x₀)上不可能单调递增，也不可能单调递减，
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负.
故g(x)在区间(0，x₀)内存在零点，
同理，g(x)在区间(x₀，1)内存在零点
所以，g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点
由（1）可知，当时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，
当时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，
所以，
此时，g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在[ln(2a)，1]上单调递增
因此，x₁∈(0，ln(2a))，x₂∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0
由f(1)＝0有a＋b＝e－1＜2有
g(0)＝1－b＝a－e＋2＞0，g(1)＝e－2a－b＝1－a＞0
解得e－2＜a＜1
当e－2＜a＜1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))，
若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])
从而f(x)在区间[0，1]上单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))＜0
又g(0)＝a－e－2＞0，g(1)＝1－a＞0
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各有一个零点x₁和x₂，
由此可知，f(x)在[0，x₁]上单调递增，在[x₁，x₂]上单调递减，在[x₂，1]上单调递增.
所以f(x₁)＞f(0)＝0，f(x₂)＜f(0)＝0
故f(x)在(x₁，x₂)内有零点
综上所述，a的取值范围是(e－2，1).
考点：导数的运算,导数在研究函数中的应用，函数的零点，推理论证能力，运算求解能力，创新意识，