Question

已知函数f(x)=

2x

x+1

，f^-1（x）为f（x）的反函数
（1）求f^-1（x）；
（2）设k＜2，解关于x的不等式x•f-1(x)＜

(k+1)x-k

2-x

．

Answer 1

分析：（1）根据y=

2x

x+1

，变形后得到y不等于2，然后利用含有y的代数式表示出x，把x换为y，y换为x后，得到f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）把（1）中求出的f（x）的反函数代入x•f-1(x)＜

(k+1)x-k

2-x

中，化简后得到x-k，x-1及x-2三者乘积大于0，然后分k小于1，k=1及k大于1小于2三种情况，利用不等式取解集的方法即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）由y=

2x

x+1

=

2(x+1)-2

x+1

=2-

2

x+1

≠2，（2分）
y(x+1)=2x?(2-y)x=y?x=

y

2-y

，（4分）
故f-1(x)=

x

2-x

，(x≠2)；（5分）
（2）由（1）知不等式x•f-1(x)＜

(k+1)x-k

2-x

?

x2-(k+1)x+k

2-x

＜0?

(x-k)(x-1)

2-x

＜0
?（x-k）（x-1）（x-2）＞0．（*）（7分）
①当k＜1时，（*）?k＜x＜1或x＞2（8分）
②当k=1时，（*）?（x-1）²（x-2）＞0?x＞2（9分）
③当1＜k＜2时，（*）?1＜x＜k或x＞2（10分）
综上：当k＜1时，不等式解集为{x|k＜x＜1或x＞2}；
当k=1时，不等式解集为{x|x＞2}；
当1＜k＜2时，不等式解集为{x|1＜x＜k或x＞2}．（12分）

点评：此题考查学生会根据函数的解析式求出函数的反函数，考查了转化和分类讨论的数学思想，是一道中档题．