Question

如图（1），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠ABC=60°，E是BC的中点，将△ABE沿AE折起，得到如图（2）所示的四棱锥B′-AECD，连结B′C，B′D，F是CD的中点，P是B′C的中点，且PF=

6

2

．

（1）求证：AE⊥平面PEF；
（2）求二面角B′-EF-A的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）设AE中点为M，由已知条件推导出AE⊥平面B′DM，平面B′DM∥平面PEF，由此能证明AE⊥平面PEF．
（2）以M为原点，以ME为x轴，以MD为y轴，以MB′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B′-EF-A的余弦值．

解答： （1）证明：设AE中点为M，
∵在等腰梯形ABCD中，
AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，
∴△ABE与△ADE都是等边三角形．
∴B′M⊥AE，DM⊥AE．
∵B′M∩DM=M，B′M、DM?平面B′DM，
∴AE⊥平面B′DM，
∵EF∥DM，PF∥B′ D，EF∩PF=F，
EF、PF?平面PEF，DM，B′D?平面B′DM，
∴平面B′DM∥平面PEF，
∴AE⊥平面PEF．
（2）解：由（1）知B′M=DM=

4-1

=

3

，
∵F是CD的中点，P是B′C的中点，且PF=

6

2

，
∴PD=

6

，∴BM²+DM²=PD²，
∴MB′，ME，MD两两垂直，
∴以M为原点，以ME为x轴，以MD为y轴，以MB′为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知：B′（0，0，

3

），E（1，0，0），F（1，

3

，0），A（-1，0，0），
∴

EB′

=（-1，0，

3

），

EF

=（0，

3

，0），

EA

=（-2，0，0），
设平面EFB′的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • EB′ =-x+ 3 z=0 n • EF = 3 y=0

，取x=

3

，得

n

=(

3

，0，1)，
由题意知平面AEF的法向量

m

=(0，0，1)，
∵cos＜

n

，

m

＞=

1

2

，
∴二面角B′-EF-A的余弦值为

1

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．