Question

已知f（a）=

sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α-π)

sin(-π-α)

（Ⅰ）化简f（a）；
（Ⅱ）若α是第三象限角，且cos（α-

3

2

π）=

1

5

，求f（a）的值；
（Ⅲ）求f（

π

3

）+f（

2π

3

）+f（

3π

3

）+…+f（

2013π

3

）的值．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由条件利用诱导公式求得f（a）的值．
（Ⅱ）由α是第三象限角，且cos（α-

3

2

π）=

1

5

，利用同角三角函数的基本关系求得f（a）的值．
（Ⅲ）利用f（x）的周期性求得f（

π

3

）+f（

2π

3

）+f（

3π

3

）+…+f（

2013π

3

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）利用诱导公式可得f(α)=

sinα•cosα• sin( 3π 2 -α) cos( 3π 2 -α) • sin(-α-π) cos(-α-π)

sin(-α-π)

=sinα•cosα•

-cosα

-sinα•(-cosα)

=-cosα．
（Ⅱ）∵

1

5

=cos(α-

3π

2

)=-sinα，且α是第三象限的角∴cosα=-

1-sin2α

=-

2 6

5

，
所以f(α)=

2 6

5

．
（Ⅲ）因为f(

π

3

)+f(

2π

3

)+…+f(

6π

3

)=0，且cos（2kπ+α）=cosα，
所以f(

π

3

)+f(

2π

3

)+…+f(

2013π

3

)=f(

π

3

)+f(

2π

3

)+f(

3π

3

)=1．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，利用函数的周期性奇函数的值，属于中档题．