Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0
（1）求角B的大小．
（2）若b=

13

，a+c=4，求△ABC的面积．
（3）求y=sin²A+sin²C的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式，即可求角B的大小．
（2）利用余弦定理求出ac的值，即可求△ABC的面积．
（3）利用倍角公式，结合三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵（2a+c）cosB+bcosC=0，
∴（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0
2sinAcosB+sin（B+C）=0，
即2sinAcosB+sinA=0，
∴cosB=-

1

2

，即B=

2π

3

．
（2）若b=

13

，a+c=4，
则b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
即13=16-2ac+ac，
则ac=3，
∵a+c=4，
∴a=1c=3或a=3，c=1，
则△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

．
（3）∵B=

2π

3

，
∴A+C=

π

3

，即C=

π

3

-A，0＜A＜

π

3

，
则y=sin²A+sin²C=

1-cos2A

2

+

1-cos2C

2

=1-

1

2

[cos2A+cos（

2π

3

-2A）]=1-

1

2

[

1

2

cos2A+

3

2

sin2A]=1-

1

2

sin（2A+

π

3

），
∵0＜A＜

π

3

，
∴

π

3

＜2A+

π

3

＜π，
则0＜sin2A+

π

3

≤1，
则

1

2

≤1-

1

2

sin（2A+

π

3

）＜1，
即y=sin²A+sin²C的取值范围是

1

2

≤y＜1．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，涉及的公式较多．