Question

已知函数f（x）=|x|，
（1）解不等式f（x-1）≤2x；
（2）若不等式f（x+1）+f（2x）≤

1

a

+

1

(1-a)

对任意a∈（0，1）恒成立，求x取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）不等式即|x-1|≤2x，可得

2x≥0 -2x≤x-1≤2x

，由此求得不等式的解集．
（2）由题意可得|x+1|+|2x|≤

1

a

+

1

(1-a)

对任意a∈（0，1）恒成立．利用基本不等式求得

1

a

+

1

(1-a)

=

1

a(1-a)

≥4，可得|x+1|+|2x|≤4，故有

x＜-1 -x-1-2x≤4

①，或

-1≤x＜0 x+1-2x≤4

②，或

x≥0 x+1+2x≤4

③．
分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）不等式f（x-1）≤2x，即|x-1|≤2x，∴

2x≥0 -2x≤x-1≤2x

．
解得 x≥

1

3

，故不等式的解集为{x|x≥

1

3

}．
（2）若不等式f（x+1）+f（2x）≤

1

a

+

1

(1-a)

对任意a∈（0，1）恒成立，
即|x+1|+|2x|≤

1

a

+

1

(1-a)

对任意a∈（0，1）恒成立．
由于

1

a

+

1

(1-a)

=

1

a(1-a)

≥

1

[ a+(1-a) 2 ]2

=4，
∴|x+1|+|2x|≤4，∴

x＜-1 -x-1-2x≤4

 ①，或

-1≤x＜0 x+1-2x≤4

 ②，或

x≥0 x+1+2x≤4

③．
解①求得-

5

3

＜x＜-1，解②求得-1≤x＜0，解③求得0≤x≤1，
综上可得，x取值范围为[-

5

3

，1]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．