Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M、N分别是AB、PC中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：AB⊥MN．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为E，连接AE、NE，易证AMNE是平行四边形，则MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD，满足定理所需条件；（Ⅱ）欲证AB⊥MN，先证线面垂直即可得到AB⊥MN．

解答： 证明：（Ⅰ）取PD中点Q，连结AQ，NQ．
∵N是PC中点，
∴NQ  

∥ .

.

  

1

2

DC
又∵M是AB中点，AM 

∥ .

.

  

1

2

DC，
∴AM 

∥ .

.

 NQ，
∵四边形AQNM是平行四边形．
∴MN∥AQ．
∵MN?平面PAD，AQ?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵底面ABCD为矩形，
∴AB⊥AD．
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AQ．
又∵AQ∥MN，
∴AB⊥MN．

点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于基础题．