Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin²A+sin²C=sin²B-sinAsinC．
（1）求B的大小；
（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2$\sqrt{3}$，BD=1，求sin∠BAC的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简得到一个等式，再利用余弦定理求出cosB的值，即可求出B的度数；
（2）利用正弦定理可求sin∠BAD的值，利用倍角公式可求cos∠BAC，进而利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BAC的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）在△ABC中，∵sin²A+sin²C=sin²B-sinAsinC，
∴a²+c²=b²-ac，…（2分）
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，…（4分）
∵B∈（0，π），…（5分）
∴B=$\frac{2π}{3}$．…（6分）
（2）在△ABD中，由正弦定理：$\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，
∴sin∠BAD=$\frac{BDsinB}{AD}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{4}$，…（8分）
∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1-2sin²∠BAD=1-2×$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{8}$，…（10分）
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\sqrt{1-（\frac{7}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．   …（12分）

点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．