Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上不同的三点，$A（\sqrt{10}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}）$，B（-2，-2），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$为定值并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）将A，B坐标代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；
（2）设点C（m，n）（m＜0，n＜0），则BC中点为（$\frac{m-2}{2}$，$\frac{n-2}{2}$），求得直线OA的方程，利用点C在椭圆上，即可求点C的坐标；
（3）求出M，N的纵坐标，利用点C在椭圆上，结合向量的数量积公式，即可求得结论．

解答 解：（1）由已知，将$A（\sqrt{10}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}）$，B（-2，-2）代入椭圆方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{{a}^{2}}+\frac{\frac{10}{4}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=20}\\{{b}^{2}=5}\end{array}\right.$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；                 …（4分）
（2）解：设点C（m，n）（m＜0，n＜0），则BC中点为（$\frac{m-2}{2}$，$\frac{n-2}{2}$）．
由已知，求得直线OA的方程：x-2y=0，从而m=2n-2．①
又∵点C在椭圆上，
∴m²+4n²=20．②
由①②，解得：n=2（舍），n=-1，从而m=-4．
∴点C的坐标为（-4，-1）．…（8分）
（3）证明：设P（x₀，y₀），M（2y₁，y₁），N（2y₂，y₂）．
∵P，B，M三点共线，则$\frac{{y}_{1}+2}{2{y}_{1}+2}$=$\frac{{y}_{0}+2}{2{x}_{0}+2}$整理得y₁=$\frac{2（{x}_{0}-{y}_{0}）}{2{y}_{0}+2-{x}_{0}}$．…（10分）
∵P，C，N三点共线，则$\frac{{y}_{2}+1}{2{y}_{2}+4}$=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}+4}$，整理得y₂=$\frac{{x}_{0}-4{y}_{0}}{2{y}_{0}-2-{x}_{0}}$．…（12分）
∵点C在椭圆上，
∴x₀²+4y₀²=20，x₀²=20-4y₀²，
从而y₁y₂=$\frac{2（{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}-5{x}_{0}{y}_{0}）}{{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}-4}$=$\frac{2（20-5{x}_{0}{y}_{0}）}{16-4{x}_{0}{y}_{0}}$=2×$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{2}$．      …（14分）
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=5y₁y₂=$\frac{25}{2}$．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$为定值，定值为$\frac{25}{2}$．      …（16分）

点评 本题考查椭圆的方程，考查向量的数量积公式，直线的斜率公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．