【题目】如图,已知四棱锥中,,平面,,F,G分别是的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取的中点O,连接,根据条件可证平面平面,从而可证明.
(Ⅱ)平面,平面,由得,故以点O为坐标原点,所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法求二面角.
(Ⅰ)证明:如图,取的中点O,连接.
点分别为的中点,点O为的中点,
为梯形的中位线,.
平面,平面,
平面.
同理,,
平面,平面,
平面.
又,平面平面.
平面,平面.
(Ⅱ)平面,平面.
,
故以点O为坐标原点,所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
在中,.
在中,.
在中,,作,垂足为点H.
在中,,,
,
,,,,
,,.
设平面的法向量为,
由
得,令,;
设平面的法向量为,
由
得
令.
设二面角的大小为,
由图可知,二面角为锐角,
则.
所以二面角的余弦值为
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【题目】湖北七市州高三5月23日联考后,从全体考生中随机抽取44名,获取他们本次考试的数学成绩和物理成绩,绘制成如图散点图:
根据散点图可以看出与之间有线性相关关系,但图中有两个异常点.经调查得知,考生由于重感冒导致物理考试发挥失常,考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确,剔除这两组数据后,对剩下的数据作处理,得到一些统计的值:其中,分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩,,2,…,42,与的相关系数.
(1)若不剔除两名考生的数据,用44组数据作回归分析,设此时与的相关系数为.试判断与的大小关系,并说明理由;
(2)求关于的线性回归方程,并估计如果考生参加了这次物理考试(已知考生的数学成绩为125分),物理成绩是多少?
(3)从概率统计规律看,本次考试七市州的物理成绩服从正态分布,以剔除后的物理成绩作为样本,用样本平均数作为的估计值,用样本方差作为的估计值.试求七市州共50000名考生中,物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数的数学期望.
附:①回归方程中:
②若,则
③
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【题目】以坐标原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为:,曲线C2的参数方程为:,点N的极坐标为.
(Ⅰ)若M是曲线C1上的动点,求M到定点N的距离的最小值;
(Ⅱ)若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点,求正数的取值范围.
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【题目】某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示
(1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润(单位:百万元)与月份代码之间的关系,求关于的线性回归方程,并预测该公司2019年3月份的利润;
(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有,两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同,现对,两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表:
使用寿命 材料类型 | 个月 | 个月 | 个月 | 个月 | 总计 |
如果你是甲公司的负责人,你会选择采购哪款新型材料?
参考数据:,.参考公式:回归直线方程为,其中 .
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【题目】某工厂新购置甲、乙两种设备,分别生产A,B两种产品,为了解这两种产品的质量,随机抽取了200件进行质量检测,得到质量指标值的频数统计表如下:
质量指标值 | 合计 | ||||||
A产品频数 | 2 | 6 | a | 32 | 20 | 10 | 80 |
B产品频数 | 12 | 24 | b | 27 | 15 | 6 | n |
产品质量2×2列联表
产品质量高 | 产品质量一般 | 合计 | |
A产品 | |||
B产品 | |||
合计 |
附:
(1)求a,b,n的值,并估计A产品质量指标值的平均数;
(2)若质量指标值大于50,则说明该产品质量高,否则说明该产品质量一般.请根据频数表完成列联表,并判断是否有的把握认为质量高低与引入甲、乙设备有关.
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【题目】已知定义域为R的奇函数,满足,则下列叙述正确的为( )
①存在实数k,使关于x的方程有7个不相等的实数根
②当时,恒有
③若当时,的最小值为1,则
④若关于的方程和的所有实数根之和为零,则
A.①②③B.①③C.②④D.①②③④
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【题目】在直角坐标系中中,曲线的参数方程为(为参数,).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为.
(1)设是曲线上的一个动点,当时,求点到直线的距离的最大值;
(2)若曲线上所有的点均在直线的右下方,求的取值范围.
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