【题目】已知定义域为R的奇函数,满足,则下列叙述正确的为( )
①存在实数k,使关于x的方程有7个不相等的实数根
②当时,恒有
③若当时,的最小值为1,则
④若关于的方程和的所有实数根之和为零,则
A.①②③B.①③C.②④D.①②③④
【答案】B
【解析】
对于①,当时,直线与函数在第一象限有3个零点,关于x的方程有7个不相等的实数根,所以①正确;
对于②,当时,函数不是单调函数,所以②不正确;
对于③,令所以,则,所以③正确;
对于④,通过数形结合分析得到其是错误的.
对于①,函数的图象如图所示,由于函数是奇函数,所以只要考查的零点个数,
由于,所以只要考虑的零点有3个即可.
由题得,所以直线的斜率为,此时直线与函数的图象有5个交点,当时,直线与函数在第一象限有3个零点,关于x的方程有7个不相等的实数根,所以①正确;
对于②,当时,函数不是单调函数,所以不成立,所以②不正确;
对于③,令所以,当时,的最小值为1,则,所以③正确;
对于④,由于函数是奇函数,关于的方程和的所有实数根之和为零,
当时,有三个实根,,
则,
所以的所有实数根之和为.
令所以错误.
故选:B.
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【题目】已知椭圆的离心率,椭圆上的点到其左焦点的最大距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点,直线,过点作直线的垂线与直线交于点,求的最小值和此时直线的方程.
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【题目】某公司为了对某种商品进行合理定价,需了解该商品的月销售量(单位:万件)与月销售单价(单位:元/件)之间的关系,对近个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析,得到一组检测数据如表所示:
月销售单价(元/件) | ||||||
月销售量(万件) |
(1)若用线性回归模型拟合与之间的关系,现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为:,和,其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识,判断哪位实习员工的计算结果是正确的,并说明理由;
(2)若用模型拟合与之间的关系,可得回归方程为,经计算该模型和(1)中正确的线性回归模型的相关指数分别为和,请用说明哪个回归模型的拟合效果更好;
(3)已知该商品的月销售额为(单位:万元),利用(2)中的结果回答问题:当月销售单价为何值时,商品的月销售额预报值最大?(精确到)
参考数据:.
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【题目】为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果,现对200只动物进行调研,并得到如下数据:
未发病 | 发病 | 合计 | |
未注射疫苗 | 20 | 60 | 80 |
注射疫苗 | 80 | 40 | 120 |
合计 | 100 | 100 | 200 |
(附:)
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
则下列说法正确的:( )
A.至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
B.至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
C.至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
D.“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%
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【题目】已知四棱锥,底面为菱形, ,H为上的点,过的平面分别交于点,且平面.
(1)证明: ;
(2)当为的中点, ,与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
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【题目】在某次投篮测试中,有两种投篮方案:方案甲:先在A点投篮一次,以后都在B点投篮;方案乙:始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为,命中一次记3分,没有命中得0分;在B点命中的概率为,命中一次记2分,没有命中得0分,用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果的值不低于3分,则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮3次.
(1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分的分布列和数学期望.
(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由.
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