Question

2．已知抛物线C：y²=4x，直线l交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁•k₂=-2，则△AOB面积的最小值为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可设直线AB的方程为：x=my+b，与抛物线方程联立可得根与系数的关系、利用斜率公式得出直线AB过定点M（2，0），再利用三角形的面积计算公式即可得出结论．

解答 解：由题意可设直线AB的方程为：x=my+b．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-4my-4b=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b．
∵直线OA，OB的斜率分别为k₁，k₂，k₁•k₂=-2．
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2．
∴y₁y₂=-8，
∴-4b=-8，
∴b=2．
因此直线AB过定点M（2，0）．
∴△AOB面积S=$\frac{1}{2}×2×$|y₁-y₂|=$\sqrt{16{m}^{2}+32}$
因此当m=0时，△AOB的面积取得最小值4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题综合考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．